4.9 Problemas de Optimización.

Estrategia de resolución de problemas: Resolver problemas de optimización

1. Identifique todas las variables involucradas en el problema. Si corresponde, dibuje una figura ilustrativa y etiquete todas las variables (asigne una letra que represente cada variable).

2. Determine qué cantidad se debe maximizar o minimizar y para qué rango de valores de las otras variables (si esto se puede determinar en este momento).

3. Escriba una fórmula para la cantidad a maximizar o minimizar en términos de las variables. Esta fórmula puede involucrar más de una variable independiente.

4. Escriba cualquier ecuación que relacione las variables independientes en la fórmula del paso 3. Use estas ecuaciones para escribir la cantidad que se maximizará o minimizará en función de una sola variable independiente.

5. Identifique el dominio de consideración para la función en el paso 4 en relación del problema físico a resolver.

6. Calcule el valor máximo o mínimo de la función obtenida en el paso 4. Este paso generalmente implica buscar puntos críticos y evaluar la función en los puntos finales.

Estrategias para resolver problemas aplicados de mínimos y máximos

1. Identificar todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. Si es posible, elaborar un dibujo. 

2. Escribir una ecuación primaria para la cantidad que se va a maximizar o minimizar. 

3. Reducir la ecuación primaria a una que tenga una sola variable independiente. Esto quizá implique el uso de ecuaciones secundarias que relacionan las variables independientes de la ecuación primaria. 

4. Determinar el dominio admisible de la ecuación primaria. Esto es, determinar los valores para los cuales el problema planteado tiene sentido. 

5. Determinar el valor máximo o mínimo deseado mediante las técnicas de cálculo estudiadas

Solución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado

La idea básica que siguen los problemas de optimización es básicamente la misma. Tenemos una cantidad particular que estamos interesados en maximizar o minimizar. Sin embargo, también tenemos algunas condiciones auxiliares que deben cumplirse. 

Por ejemplo: 

en el siguiente problema, estamos interesados en maximizar el área de un jardín rectangular. Ciertamente, si seguimos agrandando las longitudes laterales del jardín, el área continuará haciéndose más grande. Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos alguna restricción sobre la cantidad de cercas que podemos usar para el perímetro? 

En este caso, no podemos hacer que el jardín sea tan grande como queramos. Veamos cómo podemos maximizar el área de un rectángulo sujeto a alguna restricción en el perímetro.

Ejemplo ilustrativo 4.9.1: Maximizando el área de un jardín

Se construirá un jardín rectangular utilizando una pared de roca como un lado del jardín y cercas de alambre para los otros tres lados. Dados 100 pies de cercas de alambre, determine las dimensiones que crearían un jardín de área máxima. ¿Cuál es el área máxima?

Figura 4.9.1 

Queremos determinar las medidas x e y que crearán un jardín con un área máxima

utilizando 100 pies de cercado.

Solución:

Sea x la longitud del lado del jardín perpendicular a la pared de roca e y la longitud del lado paralelo a la pared de roca. Entonces, el área del jardín es

A=x⋅y

Queremos encontrar el área máxima posible sujeta a la restricción de que la valla total es de 100 pies. De la Figura 4.9.1, la cantidad total de valla utilizada será 2x+y. Por lo tanto, la ecuación de restricción es:

2x+y=100.

Resolviendo esta ecuación para y, tenemos y=100 - 2x. Por lo tanto, podemos escribir el área como

A(x)= x⋅ (100 - 2x) =100x - 2x².

Antes de intentar maximizar la función de área A(x)=100x–2x², necesitamos determinar el dominio en consideración. Para construir un jardín rectangular, ciertamente necesitamos que las longitudes de ambos lados sean positivas. Por lo tanto, necesitamos x>0 e y>0. Dado que y=100 - 2x, sí y>0 entonces x<50. Por lo tanto, estamos tratando de determinar el valor máximo de A(x) para x en el intervalo abierto (0,50). No sabemos que una función necesariamente tenga un valor máximo sobre un intervalo abierto. Sin embargo, sí sabemos que una función continua tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) sobre un intervalo cerrado. Por lo tanto, consideremos la función A(x)=100x−2x2 sobre el intervalo cerrado [0,50]. Si el valor máximo ocurre en un punto interior, entonces hemos encontrado el valor x en el intervalo abierto (0,50) que maximiza el área del jardín. Por lo tanto, consideramos el siguiente problema:

Maximizar A(x)=100x - 2x² sobre el intervalo [0,50].

Como se mencionó anteriormente, dado que A es una función continua en un intervalo cerrado y acotado, por el teorema del valor extremo, tiene un máximo y un mínimo. Estos valores extremos ocurren en los extremos o en los puntos críticos. En los extremos, A(x)=0. Dado que el área es positiva para todas las x en el intervalo abierto (0,50), el máximo debe ocurrir en un punto crítico. Derivando la función A(x) obtenemos

A′(x)=100–4x.

Por lo tanto, el único punto crítico es x=25 (Figura 4.9.2). Concluimos que el área máxima debe ocurrir cuando x=25. Entonces tenemos y=100–2x=100–2(25) =50. Para maximizar el área del jardín, sea x=25 pies e y=50 pies. El área de este jardín es 1250 pies2.

Figura 4.9.2

Para maximizar el área del jardín, necesitamos encontrar el valor máximo de la función A(x) =

100x -2x2.

Ejemplo 2:

Determinación del volumen máximo

Un fabricante quiere diseñar una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial de 108 pulgadas cuadradas, como se muestra en la figura 3.53. ¿Qué dimensiones producirán una caja con un volumen máximo?

Solución Debido a que la caja tiene una base cuadrada, su volumen es

$V = x^2h$ Ecuación primaria.

Esta ecuación recibe el nombre de ecuación primaria porque proporciona una fórmula para la cantidad que se va a optimizar. El área de la superficie de la caja es

$S=$ (área de la base) + (área de los cuatro lados)
$S=x^2+4xh=\mathrm{108\; ecuación\; secundaria.}$

Como $\mathrm{V\; se\; va\; a\; maximizar,\; escribir }$$V$ como una función de una sola variable. Para hacerlo, es posible resolver la ecuación $x^2 + 4xh = 108$ para $h$ en términos de $x$ y obtener
$h=(108-\; x²)\mathrm{/}(4x)$ Sustituyendo en la ecuación primaria, se obtiene

$V = x^2h$                   Función de dos variables.
$= x^2 \left( \dfrac{108 - x^2}{4x} \right)$     Sustituir para h.
$= 27x - \dfrac{x^3}{4}.$              Función de una variable

Antes determinar qué valor de $x$ producirá un valor máximo de V, se necesita determinar eldominio admisible. Esto es, ¿qué valores de x tienen sentido en este problema? Se sabe que$V\ge 0$. También que x debe ser no negativa y que el área de la base (A=x²) es a lo sumo 108. De tal modo, el dominio admisible es

$0\le x\le \sqrt{108}\mathrm{.<span\; class="mord\; sqrt"><span\; class="vlist-t\; vlist-t2"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist-s"></span></span><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist"></span></span></span></span><span\; class="mord">.</span>}$ Dominio admisible

Para maximizar $\mathrm{V,\; determinar\; los\; puntos\; críticos\; de\; la\; función\; de\; volumen\; en\; el\; intervalo }$$(0,\sqrt{108})\mathrm{<br>}$

$$\frac{dV}{dx} = 27 - \frac{3x^2}{4} = 0$$
$$3x^2 = 108$$
$$x = \pm 6$$

De tal modo, los puntos críticos son $x = \pm 6$. No se necesita considerar $x = -6$porque está fuera del dominio. La evaluación de $\mathrm{V\; en\; el\; punto\; crítico }$$x = 6$ y en los puntos terminales del dominio produce
$V(0) = 0$, V (6) =$108$ y $V(\sqrt{108}) = 0$.
De tal modo, $\mathrm{V\; es\; máximo\; cuando }$$x = 6$ y las dimensiones de la caja son $6\times 6\times 3$ pulgadas.