4.5 Concavidad y punto de inflexión de funciones.

 Definición de concavidad

Una función derivable se dice que es cóncava hacia arriba o simplemente concava (∪) en x = a si la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto está por debajo de ella.
Una función derivable se dice que es cóncava hacia abajo o convexa (∩) en x = a si la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto está por encima de ella.

La mejor forma de entender la concavidad de una función es con su gráfica. Una función es cóncava positiva (+) si abre hacia arriba y cóncava negativa (-) si abre hacia abajo, esta última también recibe el nombre de convexa. La segunda derivada ayuda a determinar los intervalos de concavidad de una función. En la siguiente gráfica de una función de tercer grado (cúbica), se observa en que intervalos crece o decrece la función. En una función cúbica puede representar los criterios, creciente y decreciente, así como la concavidad y el punto de inflexión (representa el cambio de las concavidades).

Criterio de concavidad

Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto l. 
1. Si f "(x) > 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I. 
2. Si f "(x) < 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

 
Ejemplo 1. Determinar la concavidad

Determine los intervalos abiertos sobre los cuales la gráfica de

$$f(x)=\frac{6}{x^2 + 3}$$

es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Solución

Comience observando que f es continua en toda la recta real. A continuación, encuentre la segunda derivada de f.

$$f(x)=6(x^2 + 3)^{-1} \qquad \text{Reescriba la función original.}$$

$$f'(x)=(-6)(x^2 + 3)^{-2}(2x) \qquad \text{Derive.}$$

$$= \frac{-12x}{(x^2 + 3)^2} \qquad \text{Primera derivada.}$$

$$f''(x)=\frac{(x^2+3)^2(-12)\;-\;(-12x)(2)(x^2+3)(2x)}{(x^2+3)^4} \qquad \text{Derive.}$$

$$= \frac{36(x^2 - 1)}{(x^2 + 3)^3} \qquad \text{Segunda derivada.}$$

Como f ′′(x)=0 cuando $x=\pm1$ se define toda la recta real, usted debe probar $f''$ en los intervalos
$(-\infty ,\; -1),\; (-1,1)$ y $(1,\; \infty )$. Los resultados se muestran en la tabla y en la figura 4.5.1.

Figura 4.5.1.

• La función dada en el ejemplo 1 es continua en toda la recta real. Si hay valores de x en los cuales la función no es continua, dichos valores deben usarse, junto con los puntos en los cuales f '(x) = 0 o f '(x) no existe, para formar los intervalos de prueba.

Puntos de inflexión

La gráfica de la imagen tiene dos puntos en los que cambia de concavidad. Si la recta tangente a la gráfica existe en un punto de este tipo, ese punto es un punto de inflexión. En la imagen se muestran tres tipos de puntos de inflexión. 

Definición de punto de inflexión 

Sea f una función que es continua en un intervalo abierto, y sea c un punto en ese intervalo. Si la gráfica de f tiene una recta tangente en este punto (c,f (c)), entonces ese punto es un punto de inflexión de la gráfica de f si la concavidad de f cambia de cóncava hacia arriba iba a cóncava hacia abajo (o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba) en ese punto. 

Para localizar los posibles puntos de inflexión, se pueden determinar los valores de x para los cuales f ''(x) = 0 o f ''(x) no existe. Esto es similar al procedimiento para localizar los extremos relativos de f.

Teorema. Punto de inflexión

Si (c, f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces f'(c) = 0 o f ' no existe en x = c.

Ejemplo. Determine los puntos de inflexión y analice la concavidad de la gráfica de

f(x) = x²- 4x³

Solución: Al derivar dos veces, obtiene lo siguiente
 

f(x) = x²- 4x³                                        Escriba la función original. 

f ′(x) = 4x³- 12x²                                  Encuentre la primera derivada.

f"(x) = l2x² - 24x = l2x (x - 2)               Encuentre la segunda derivada.

Haciendo f ′′(x) = 0 usted puede determinar que los puntos de inflexión posibles ocurren en x = 0 y x = 2. Al probar los intervalos determinados por estos valores de x, puede concluir que ambos producen puntos de inflexión. Un resumen de esta prueba se presenta en la tabla y la gráfica de f se ilustra en la figura 4.5.2.

Figura 4.5.2.

Puntos de inflexión y sentido de la concavidad de una curva

Al localizar los intervalos en los que la derivada de una función crece o decrece, podemos indicar sobre

la gráfica en dónde se curva hacia arriba o hacia abajo; lo anterior se conoce como concavidad.

Concavidad en un punto

Si P es el punto que describe una curva, la pendiente de la tangente en dicho punto varía, dando lugar a

las siguientes gráficas.

a) Si una curva queda por debajo de sus tangentes, el arco es cóncavo hacia abajo, es decir, hacia la

parte negativa del eje y.

b) Si una curva queda por encima de sus tangentes, el arco es cóncavo hacia arriba, es decir, hacia la

parte positiva del eje y.

c) Si una curva cambia el sentido de su concavidad en un punto, indica que tiene un punto de

inflexión.

Cuando conocemos la gráfica de una función resulta fácil observar la concavidad de la curva y com-

prender la siguiente definición: si y = f(x) es diferenciable en el intervalo (a,b), su gráfica es cóncava

hacia arriba en el intervalo si su derivada es creciente en el mismo intervalo; su gráfica es cóncava hacia

abajo en el intervalo si su derivada es decreciente en el mismo intervalo.

Criterio para la concavidad

Sea y = f(x) una función cuya gráfica es cóncava hacia arriba si su segunda derivada es positiva (y ′′ > 0)

y es cóncava hacia abajo si su segunda derivada es negativa (y ′′< 0).

Puntos de inflexión

Es aquel que separa los arcos de una curva que tienen su concavidad en sentidos opuestos.

En cada punto de inflexión la recta tangente cruza la curva, por lo que el signo de la segunda derivada cambia en dichos puntos.

Para encontrar los puntos de inflexión se requiere calcular los valores de x para los que la segunda derivada es igual a cero.

Reglas para encontrar los puntos de inflexión y el sentido de la concavidad de una curva

1. Se determina la segunda derivada de la función dada.

2. Se iguala a cero la segunda derivada, se resuelve la ecuación resultante y se consideran las raíces reales de la ecuación.

3. Se analizan los valores de las raíces obtenidas, primero para valores un poco menores y después para valores un poco mayores; si el signo de la segunda derivada cambia, indica la existencia de un punto de inflexión.

a) Cuando la segunda derivada es positiva, la curva es cóncava hacia arriba (+).

b) Cuando la segunda derivada es negativa, la curva es cóncava hacia abajo (-).

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Ejemplo:

Encuentra los puntos de inflexión y el sentido de la concavidad para y = x³ - 3x² + 3 y traza su gráfica.

Solución

a) Se determina la segunda derivada de la función.

y=x³-3x²+3

y'=3x²-6x

y''=6x-6

y''=x-1

b) Se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación resultante.

x-1=0

x=1

c) Se analiza el valor de la raíz obtenida.

Para x = 1

Un valor un poco menor

x = 1/2 = 0.5

y'' = x - 1

y'' = 1/2 - 1 = -1/2

y'' = -

Un valor un poco mayor

x = 3/2 = 1.5

y = x - 1

y'' = 3/2 - 1 = 1/2

 y'' = +

Sí hay punto de inflexión.

El punto de inflexión es:

y=x³-3x²+3

Para x = 1, se tiene:

y= (1) ³-3(1) ²+3

y=1-3+3=1

Existe un punto de inflexión en (1,1).

Al elaborar la gráfica correspondiente de y = x³-3x²+3, se tiene:

En general: