4.11 Cálculo de aproximaciones usando diferenciales.

¿Qué es la aproximación usando la diferencial?

La aproximación usando la diferencial es un método que permite estimar el cambio en el valor de una función a partir de su derivada y un pequeño cambio en la variable independiente. Este enfoque es útil para simplificar cálculos en situaciones donde el valor exacto es complicado de obtener.

¿Es la aproximación utilizando la diferencial aplicable a todas las funciones?

No todas las funciones son adecuadas para la aproximación utilizando la diferencial. Funciones que son discontinuas o que presentan puntos críticos pueden no proporcionar resultados precisos. Es importante evaluar la función antes de aplicar este método.

Pasos para hacer una aproximación mediante diferenciales

1. Identifica la función y el punto base:

Selecciona f(x) y un valor cercano conocido x₀

2. Calcula la derivada:

Encuentra f ′(x) y evalúala en x₀.

3. Determina el diferencial

Usa dx=x - x₀ para calcular dy=f ′(x₀) dx

4. Haz la aproximación:

Sustituye en la fórmula:

f(x)≈f(x₀) +dy ·

El concepto clave en este tema es el diferencial. El diferencial de una función se representa como dx o dy, y describe un cambio infinitesimal en la variable independiente (generalmente x) o en la variable dependiente (generalmente y), respectivamente.
dy ≈ f '(x)·dx
donde f'(x) representa la derivada de la función evaluada en un punto dado. Esto nos permite estimar el cambio en la función alrededor de ese punto.

Estrategia
La estrategia a seguir es:
– Escoger una función f adecuada para realizar la aproximación y el valor “x” tal que f(x) sea el valor que se quiere aproximar.
– Escoger un valor “x0”, cercano a “x”, tal que la f(x0) sea fácil de calcular.
– Calcular Δx=x-x0.
– Calcular la derivada de la función y f'(x0).
– Sustituir en la fórmula los datos.

Aproximaciones por recta tangente

Considerar una función ƒ que es derivable en c, la ecuación para la recta tangente en el punto (c, ƒ(c)) está dada por

y es llamada aproximación por medio de una recta tangente (o aproximación lineal) de f en c. Como c es una constante, y es una función lineal de x. Además, restringiendo los valores de x de modo que sean suficientemente cercanos a c, los valores de y pueden utilizarse como aproximaciones (hasta cualquier precisión deseada) de los valores de la función ƒ. En otras palabras, cuando x → c, el límite de y es ƒ(c).

EJEMPLO 1 Utilización de la aproximación por medio de una recta tangente

Determinar la aproximación por medio de una recta tangente de

f(x) = 1 + sen x

en el punto (0, 1). Utilizar después una tabla para comparar los valores y de la función lineal

con los de f(x) en un intervalo abierto que contenga a x = 0.

Solución La derivada de f es

f '(x) = cos x.

Primera derivada.

De tal modo, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (0, 1) es

y - f (0) = f'(0) (x - 0)

y - 1 = (1) (x - 0)

y = 1 + x.

Aproximación por la recta tangente.

La tabla compara los valores de y dados por esta aproximación lineal con los valores de f(x) cerca de x = 0. Advertir que cuanto más cercana es x a 0, tanto mejor es la aproximación. Esta conclusión se refuerza por medio de la gráfica que se muestra en la figura 4.11.1.

Figura 4.11.1

NOTA Asegurarse de ver que esta aproximación lineal de f(x) = 1 + sen x depende del punto de tangencia. En un punto diferente sobre la gráfica de f, se obtendría una aproximación mediante la recta tangente diferente.

La diferencial como aproximación del incremento

Si el incremento de la variable independiente dx es muy pequeño, entonces dy y Ay son aproximadamente iguales, es decir, según la gráfica anterior se tiene:

Si dx = PB es muy pequeño, dy = BC = Ay = BP'

Cuando sólo es necesario obtener un valor aproximado del incremento de la función, calcular el valor de la diferencial será suficiente para resolver el problema.

Ejemplo 2.

1. Calcula un valor aproximado para √85.

Solución

Sean: y = √x la función representativa de √85.

x=81 por ser un valor próximo al dado y que tiene raíz cuadrada exacta dx = Ax = 4 incremento de x para tener 85.

2. Encuentra una fórmula aproximada del área de una corona circular de radio (r) y ancho (dr), ¿cuál es la fórmula exacta?

Solución

Sean: A = πr² el área del círculo

dA = representa la fórmula aproximada

ΔA = representa la fórmula exacta

Si A = πr²

dA = 2πr dr} Fórmula aproximada

3. Encuentra una fórmula aproximada para el volumen de una cáscara cilíndrica delgada de extremidades abiertas, donde el radio se representa por (r), la altura como (h) y el espesor como (e).

V = πr²h, volumen del cilindro

e = dr, espesor de la cáscara

V = πr² h

dv = 2πr hdr } Fórmula aproximada

o dv = 2πr he

4. Calcula un valor aproximado de sen 32º empleando diferenciales.
Solución
Sean:
y = sen x la función representativa de sen 32°
x = 30° por ser un valor próximo al dado, ya que sen 30° = 0.5
dx = 2° incremento de x para tener 32°
2° = 0.034906 radianes
y = sen x
dy = cos x dx
dy = cos 30°(0.034906)
dy = (0.8660)(0.034906) = 0.030228
Si y = sen 30° = 0.5, se tiene:
sen 32° = y + dy
sen 32° = 0.5 + 0.030228 = 0.530228 rad
Si realmente sen 32° = 0.529919 rad el valor determinado es mayor que el real en 0.000309 unidades.

Ejemplo 3:

Utilice diferenciales para aproximar √16.5.

Solución:

Utilizando f(x) = √x, puede escribir:

Ahora bien, eligiendo x = 16 y dx = 0.5, obtiene la siguiente aproximación.

figura 4.11.2

La aproximación por medio de la recta tangente a f (x) = √x en x = 16 es la recta g(x) = 1/8x + 2. Para valores de x cercanos a 16, las gráficas de f y g son muy próximas entre sí, como se muestra en la figura 4.11.1 Por ejemplo.

De hecho, si usa una herramienta de graficación para realizar un acercamiento al punto de tangencia (16, 4), verá que las dos gráficas parecen coincidir. Observe también que a medida que se aleja del punto de tangencia, la aproximación lineal es menos exacta.

4.11 Cálculo de aproximaciones usando diferenciales.

¿Qué es la aproximación usando la diferencial?

¿Es la aproximación utilizando la diferencial aplicable a todas las funciones?