4.2 Función creciente y decreciente.

Funciones crecientes y decrecientes

En esta sección aprenderá cómo se pueden utilizar las derivadas para clasificar extremos relativos ya sea como mínimos o como máximos relativos. En primer término, es importante definir las funciones crecientes y decrecientes.

Definición de funciones crecientes y decrecientes

Una función f es creciente en un intervalo si para cualesquiera dos números x₁ y x₂ en el intervalo, x₂ < x₂ implica f(x₁) <f(x₂). Una función f es decreciente en un intervalo si para cualesquiera dos números x₁ y x₂ en el intervalo, x₁<x₂ implica f(x₁)>f (x₂).

Por ejemplo:

Una función es creciente si, cuando x se mueve hacia la derecha, su gráfica asciende, y es decreciente si su gráfica desciende. Porejemplo, la función en la figura 4.2.1 es decreciente en el intervalo (-∞, a), es constante en el intervalo (a, b) y creciente en el intervalo (b, ∞).

Análisis de gráficas de funciones, una derivada positiva implica que la función es creciente, una derivada negativa implica que la función es decreciente, y una derivada cero sobre todo el intervalo implica que la función constante en ese intervalo.

figura 4.2.1 La derivada se relaciona con la pendiente de una función.

Teorema. Criterio para las funciones crecientes y decrecientes

Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).

1. Si f'(x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b]

2. Si f'(x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]

3. Si f'(x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f es constante en [a, b]

Demostración: para obtener el primer caso, suponga que f '(x) > 0 para todo x en el intervalo (a, b) y sean x₁ < x₂ cualesquiera dos puntos en el intervalo. Mediante el teorema del valor medio, se sabe que existe un número c tal que x₁ < c < x₂, y f'(c) = f(x₂) - f(x₁) / x₂ - x₁

Como f '(c) > 0 y x₂ - x₁ > 0, se sabe que f(x₂) - f(x₁) > 0, lo cual implica que f(x₁) <

f(x₂). De tal modo, f es creciente en el intervalo.

Ejemplo

Intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente

Determine los intervalos abiertos sobre los cuales f(x) = x³ - 3/2x² es creciente o decreciente.

Solución observe que f es derivable en toda la recta de los números reales. Para determinar los puntos críticos de f, iguale a cero f '(x).

f(x) = x³ - 3/2x²                          Escriba la función original.

f'(x) = 3x² - 3x                                                        Derive.

Para determinar los puntos críticos de f, iguale f '(x) a cero.

3x² - 3x = 0                                            Iguale f '(x) a cero.

3(x)(x - 1) = 0                                                         Factorice.

x = 0, 1                                                        Puntos críticos.

Como no hay puntos para los cuales f ' no existe, puede concluir que x = 0 y x = 1 son

los únicos puntos críticos. La tabla siguiente resume la prueba de los tres intervalos

determinados por estos dos puntos críticos.

f es creciente sobre los intervalos (- ∞, 0) y (1, ∞) y decreciente en el intervalo (0, 1), como se indica en la imagen.

ESTRATEGIAS PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS EN LOS QUE UNA FUNCIÓN ES CRECIENTE O DECRECIENTE

Sea f continua en el intervalo (a, b).

Para encontrar los intervalos abiertos sobre los cuales fes creciente o decreciente, hay que seguir los siguientes pasos:

1. Localizar los puntos críticos de f en (a, b), y utilizarlos para determinar intervalos de prueba.

2. Determinar el signo de f '(x) en un valor de prueba en cada uno de los intervalos.

3. Recurrir al teorema análisis de gráficas de funciones para determinar si f es creciente o decreciente para cada intervalo.

Estas estrategias también son válidas si el intervalo (a, b) se sustituye por un intervalo de la forma (-∞, b), (a, ∞) ० (-∞, ∞).

Una función es estrictamente monótona en un intervalo si es creciente o decreciente sobre todo el intervalo.

Por ejemplo, la función f(x) = x³ es estrictamente monótona en toda la recta de los números reales porque es creciente siempre sobre ella.

Cómo identificar intervalos crecientes y decrecientes

Una de las maneras más efectivas de identificar intervalos donde una función es creciente y decreciente es analizando su derivada. No obstante, aunque no aplicaremos el cálculo en esta introducción, te mencionaremos que, generalmente, la derivada nos indica la tasa de cambio de la función. Si la derivada es positiva en un intervalo, la función es creciente; si es negativa, entonces es decreciente.

Función creciente

Una función está "aumentando" cuando el valor de y aumenta a medida que aumenta el valor de x.

Ejemplo visual:

Es fácil ver qué y=f (x) tiende a subir a medida que avanza.

Función decreciente

El valor de y decrece a medida que aumenta el valor de x.

Ejemplo visual:

Para una función y=f(x):

Cuando x₁ < x₂, si f(x₁) ≥ f(x₂)

Decreciente

cuando x₁ < x₂, si f(x₁f) > (x₂) Estrictamente decreciente

Observa que f(x₁) ahora es mayor que (o igual a) f(x₂).