4.8 Razones de cambio relacionadas.

Cálculo de razones de cambio relacionadas

Los problemas de razones de cambio o tazas relacionadas son aquellos en los cuales se relacionan 2 o más variables que dependen del tiempo. A las derivadas de estas variables con respecto al tiempo, se les llama razones de cambio. En estos problemas, la incógnita usualmente es la razón de cambio de una de las variables involucradas.

Ya sabe cómo usar la regla de la cadena para encontrar dy / dx de manera implícita. Otra aplicación relevante de la regla de la cadena consiste en encontrar razones de cambio de dos o más variables relacionadas que están cambiando respecto al tiempo. Por ejemplo, cuando sale agua de un depósito cónico (figura 4.8.1), el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son funciones de t. Sabiendo que estas magnitudes variables se relacionan mediante la ecuación.

Figura 4.8.1

puede derivar implícitamente con respecto a t a fin de obtener la ecuación de la razón relacionada. 

De esta ecuación puede ver que la razón de cambio de V está relacionada con la razón ' de cambio de h y r.

Sugerencias para para resolver problemas de razones de cambio.

• Lea detenidamente el problema.
• Determine las variables y las constantes.
• Si es posible, haga un dibujo que relacione les constantes y las variables en el problema.
• Establezca cual es la derivada desconocida y cual o cuales son las derivadas conocidas.
• Escriba una o más ecuaciones donde se ralacionen las variables y las constantes involucradas en el problema.
• Si es posible, escriba una ecuación en términos de la variable cuya derivada se busca y de las variables cuyas derivadas son conocidas.
• Derive la ecuación planteada en el inciso anterior con respecto al tiempo. Despeje la derivada buscada.
• Sustituya los datos conocidos y las derivadas conocidas para calcular la derivada buscada en un instante dado.

Estrategia para la solución de forma de razones de cambio relacionadas:

1. Identifique todas las cantidades dadas y por determinar. Haga un dibujo y marque las cantidades. 

2. Escriba una ecuación que incluya las variables cuyas razones de cambio se encuentran en la información dada o deben calcularse. 

 3. Utilizando la regla de la cadena, derive de manera implícita ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo t. 

 4. Después de terminar el paso 3, sustituya en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio. Luego despeje la razón de cambio requerida.

Ejemplo 1: Dos razones de cambio relacionadas

Sean x y y dos funciones derivables de t, y relacionadas por la ecuación y = x² + 3. Calcule dy / dt para x = 1, sabiendo que dy / dx = 2 para x = l.
Solución Derive ambos lados con respecto a t, utilizando la regla de la cadena.

Solución de problemas con razones de cambio relacionadas 

En el ejemplo 1 se le dio la ecuación que relaciona las variables x y y, y se le pedía hallar la razón de cambio de y para x = 1. 

Ecuación:  y = x² + 3

Razón dada:  Hallar: dx/ dt = 2       cuando x = 1 

Ejemplo 2: Ondas en un lago

En un lago en calma se deja caer una piedra, lo que provoca ondas circulares, como se muestra en la figura 4.8.2. El radio r del círculo exterior está creciendo a una razón constante de 1 pie/s. Cuando el radio es 4 pies, ¿a qué razón está cambiando el área A de la región circular perturbada? 

Solución: las variables r y A están relacionadas por A = π r². La razón de cambio del radio r es dr/dt = 1. 

Ecuación: A = π r²

Ritmo dado: dr/ dt= 1

Hallar: dA/ dt cuando r=4

Con esta información, proceda como en el ejemplo 1.

Cuando el radio es de 4 pies, el área cambia a razón de 8π pies cuadrados por segundo.

 

Figura 4.8.2. El área total se incrementa a medida que lo nace el radio del círculo exterior.

Ejemplo 3: 

Una piscina tiene 50 pies de largo y 20 pies de ancho. Su profundidad varía de manera uniforme desde 2 pies en su parte menos profunda, hasta 12 pies en la parte profunda, como se muestra en la figura. Si la piscina es vaciada utilizando una bomba de agua a razón de 50 pies cúbicos por minuto. ¿A qué razón está disminuyendo la profundidad en la parte más honda, cuando la altura del agua ahí es de 6 pies?

Solución: 

Observe que en este problema la derivada conocida es la razón de cambio del volumen de agua en la piscina con respecto al tiempo. Mientras que la derivada que se busca es la razón a la cual cambia la altura del agua.

Si V es el volumen de agua, entonces 

Si h es la altura del agua en la parte profunda, debemos encontrar dh/dt, cuando h=6.

El volumen del agua está dado por 

    V= Área del triángulo x ancho de la piscina 

=(A) x (20) 

Como se muestra en la figura siguiente, se utilizarán triángulos semejantes para expresar el volumen en términos de h. 

Ahora se puede expresar el volumen de agua en la piscina en términos de la variable h

Observe que en este momento ya se tiene una ecuación que relaciona las variables h y V. h es la variable cuya derivada se busca y V es la variable cuya derivada se conoce. Derivando ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo 

 

Como la variable independiente es el tiempo, se usa derivación implícita para calcular la derivada

Ahora que ya se a calculado la razón de cambio de h, solamente hace falta evaluar la derivada cuando h= 6