4.4 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.

En el cálculo diferencial, la primera derivada es una herramienta fundamental para encontrar los puntos críticos de una función. Estos puntos, que incluyen los máximos y mínimos relativos, son de gran importancia en la resolución de problemas de optimización y en la caracterización del comportamiento de una función en un intervalo. 

¿Qué es la primera derivada?

La primera derivada de una función es la tasa de cambio instantánea de la función en un punto dado. Matemáticamente, la primera derivada se define como el límite de la razón incremental de la función cuando el tamaño del incremento tiende a cero. En otras palabras, la primera derivada nos indica la inclinación de la curva de la función en un punto dado.

Criterio de la primera derivada

El criterio de la primera derivada establece que si una función f(x) tiene un máximo o mínimo en un punto x = c, entonces la primera derivada de la función en ese punto es igual a cero, es decir, f ′(c) = 0.

Este criterio nos indica que los puntos críticos de una función, donde f ′(c) = 0, pueden ser máximos o mínimos de la función. Sin embargo, también puede existir un punto crítico donde la función no tenga ni un máximo ni un mínimo.

Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo I abierto que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue.

1. Si f ′(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).

2. Si f ′(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).

3. Si f ′(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo.






Demostración Suponga que f '(x) cambia de negativa a positiva en c. Entonces ahí existen a y b en I tales que f '(x) < 0 para todo x en (a, c) y f '(x)>0 para todo x en (c, b).

f es decreciente sobre [a, c] y creciente en [c, b]. De tal modo, f(c) es un mínimo de f en el intervalo abierto (a, b) y, en consecuencia, un mínimo relativo de f.

Esto demuestra el primer caso del teorema. El segundo caso puede demostrarse de una manera similar.

Método de la primera derivada para calcular los valores máximo y mínimo de una función. 

 1. Obtener el valor de la derivada de la función. 

 2. Igualar a cero la ecuación que resulta. 

 3. Resolver la ecuación para hallar el valor crítico 𝑥. 

 4. Sustituir el valor crítico de 𝑥 en la función dada y encontrar el valor de 𝑓(𝑥). 

 5. Tomar un valor ligeramente menor y otro ligeramente mayor que el valor crítico de 𝑥 y sustituir en la derivada de la función. 

 6. Si la pendiente resultante cambia un valor (+) a (-) entonces, se trata de un máximo, y si cambia de (-) a (+) entonces es un mínimo.

Ejemplo 1: 

Determina los máximos y mínimos de la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙³ - 𝟑𝒙

1. Se obtiene la derivada de la función:  𝒇(𝒙)´ = 𝟑𝒙² - 𝟑

2. Igualando a cero la ecuación resultante: 𝟑𝒙² - 𝟑=0

3. Resolviendo para hallar los valores críticos: 

 4. Sustituyendo los valores críticos en la función origen para calcular los valores de 𝑓(𝑥).

 5. Tomando valores un poco menor y un poco mayor de cada valor crítico y sustituir en la derivada. 

Para el valor crítico 𝑥 = 1, al sustituir los valores, los resultados cambian de (-) a (+) obteniendo el mínimo relativo, y para el valor crítico 𝑥 = −1, al sustituir los valores, los resultados cambian de (+) a (-) obteniendo el máximo relativo.

Ejemplo 2:

Determine los extremos relativos de la función f(x)= ((1/2 ​x) - (sen x)) en el intervalo (0,2π).

Solución

Observe que f es continua en el intervalo (0, 2π). La derivada de f es

$$f'(x)=\tfrac{1}{2} - \cos x.$$

Para determinar los puntos críticos de f en este intervalo, haga que $f'(x)$ sea igual a 0.

$$\frac{1}{2} - \cos x = 0 \qquad \text{Iguale } f'(x) \text{ a cero.}$$
$$\cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{3}, \quad \frac{5\pi}{3} \qquad \text{Puntos críticos}$$

Debido a que $f'$ existe en todos los puntos, se puede concluir que

$x=\pi /3$                   y 

$x = 5\pi/3$

Son los únicos puntos críticos. La tabla resume las pruebas de los tres intervalos determinados por estos dos números críticos. Mediante la aplicación de la primera derivada, usted puede concluir que f tiene un mínimo relativo en el punto donde $x = \pi/3$    y un máximo relativo en el punto donde    $x = 5\pi/3$   como se muestra en la figura 4.4.1.

                           Figura 4.4.1                            

Ejemplo 3.

Determine los extremos relativos de f(x)= (​(x² + 1) /(x²))​

Solución

Observe que f no está definida cuando x = 0.

$$f(x) = x^2 + x^{-2} \qquad \text{Reescriba la función original.}$$
$$f'(x) = 2x - 2x^{-3} \qquad \text{Derive.}$$
$$= 2x - \frac{2}{x^3} \qquad \text{Reescriba con exponente positivo.}$$
$$= \frac{2(x^4 - 1)}{x^3} \qquad \text{Simplifique.}$$
$$= \frac{2(x^2 + 1)(x - 1)(x + 1)}{x^3} \qquad \text{Factorice.}$$

De tal modo, f ’(x) es cero en x = ±1. Además, como x = 0 no está en el dominio de f, es necesario que utilice este valor de x junto con los puntos críticos para determinar los intervalos prueba.

$$x = \pm 1 \qquad \text{Puntos críticos, } f'(\pm1) = 0$$

$$x = 0 \qquad \text{El cero no está en el dominio de f.}$$

La tabla resume los valores prueba de los cuatro intervalos determinados por estos tres valores de x. Aplicando el criterio de la primera derivada, puede concluir que f tiene un mínimo relativo en el punto (-1, 2) y otro en el punto (1, 2), como se muestra en la figura 4.4.2.

                                                                                                                                                                 Figura 4.4.2.

• El paso más difícil al aplicar el criterio de la primera derivada es determinar los valores para los cuales la derivada es igual a 0. Por ejemplo, los valores de x para los cuales la derivada de f(x) = (x⁴ + 1) / (x² + 1) es igual a cero son x = 0 y x = ±√ (√2 - 1). 

VIDEO EXPLICATIVO:

AUTOR: LIZBETH NOHEMI HERNÁNDEZ SANTIAGO 

https://youtu.be/Ov6BgRAQ5Pg?si=-2A4CUj1YE4uMkz-