4.7 Análisis de la variación de una función. Graficación.

¿Qué es la variación de una función?

Las funciones matemáticas se pueden representar de manera gráfica mediante un análisis de su comportamiento. Para realizar tal análisis determinaremos el dominio, los puntos críticos, monotonía, máximos y mínimos, puntos de inflexión, concavidad y asíntotas.

El análisis de la variación de una función es el estudio detallado de cómo cambia una función en su dominio. Este análisis incluye el examen de los intervalos donde la función es creciente o decreciente, la identificación de los puntos críticos, la determinación de los máximos y mínimos (locales y globales), y la evaluación de la concavidad y los puntos de inflexión.

Para llevar a cabo un análisis de variación, es crucial entender algunos elementos fundamentales:

Derivadas: La derivada de una función nos proporciona información sobre la tasa de cambio de la misma. Si la derivada es positiva en un intervalo, la función está creciendo; si es negativa, está decreciendo.

Puntos críticos: Son aquellos puntos donde la derivada se anula o no está definida. En estos puntos, la función puede tener un máximo o un mínimo local.

Monotonía: Se refiere al comportamiento de la función en términos de crecimiento o decrecimiento. Es esencial para identificar intervalos donde la función se comporta de manera consistente.

Tipos de variación: 

Variación directa: Cuando el valor de la función aumenta a medida que aumenta la variable independiente.

Variación inversa: Cuando el valor de la función disminuye a medida que aumenta la variable independiente.

Variación constante: Cuando el valor de la función se mantiene constante independientemente de los cambios en la variable independiente.

Importancia de la variación de una función

Comprender la variación de una función nos permite predecir su comportamiento en diferentes situaciones, optimizar su rendimiento y resolver problemas matemáticos de manera más eficiente. Además, nos ayuda a visualizar y analizar gráficamente la función, lo que facilita su interpretación y aplicación en distintos contextos.

Para graficar y analizar la variación de una función, se suelen seguir estos pasos:

1.- Dominio de la función: Determinar el conjunto de todos los valores posibles de (x) para los cuales la función está definida.

2.- Intersecciones: Calcular las intersecciones con los ejes (puntos donde la función cruza los ejes (x) y (y).

3.- Derivada primera:

- Calcular la derivada primera (f '(x)) de la función.

- Encontrar los puntos críticos resolviendo (f '(x) = 0) y también evaluando los puntos donde (f '(x)) no existe.

- Usar la derivada primera para determinar los intervalos donde la función es creciente ((f '(x) > 0)) o decreciente ((f '(x) < 0)).

4.- Máximos y mínimos locales: Usar la prueba de la primera derivada o la prueba de la segunda derivada para clasificar los puntos críticos como máximos, mínimos o puntos de inflexión.

5.- Derivada segunda:

- Calcular la derivada segunda (f ''(x)).

- Usar la derivada segunda para determinar la concavidad de la función:

- Cóncava hacia arriba ((f ''(x) > 0)): la función tiene forma de 'U'.

- Cóncava hacia abajo ((f ''(x) < 0)): la función tiene forma de '∩'.

- Identificar los puntos de inflexión, donde la concavidad cambia.

6.- Asintotas y comportamiento en el infinito: Identificar si hay asintotas horizontales, verticales o inclinadas y analizar el comportamiento de la función cuando (x) tiende a (∞) o (-∞).

7.- Graficar la función: Usar toda la información recopilada para dibujar la gráfica de la función, destacando los puntos críticos, los máximos y mínimos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, la concavidad, y los puntos de inflexión.

Ejemplo práctico de análisis de variación

Consideremos la función f(x) = x³ - 3x² + 4. Para analizar su variación, comenzaremos calculando su derivada:

f '(x) = 3x² - 6x

Ahora, igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

3x² - 6x = 0

Factorizando, obtenemos:

3x (x - 2) = 0

De aquí, deducimos que los puntos críticos son x = 0 y x = 2. Ahora, evaluamos la derivada en intervalos definidos por estos puntos para determinar la monotonía:

Para x < 0: tomamos x = -1, f '(-1) = 3(-1) ² – 6(-1) = 9 (positivo, función creciente).

Para 0 < x < 2: tomamos x = 1, f '(1) = 3(1) ² – 6(1) = -3 (negativo, función decreciente).

Para x > 2: tomamos x = 3, f '(3) = 3(3) ² – 6(3) = 9 (positivo, función creciente).

Graficación:

ESTRATEGIA PARA ANALIZAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

1. Determinar el dominio y el rango de la función.

2. Determinar las intersecciones, asíntotas y la simetría de la gráfica.

3. Localizar los valores de x para los cuales f ' y f ", son cero o no existen. Utilizar los resultados para determinar los extremos relativos y puntos de inflexión.

Ejemplo. Dibujar la gráfica de una función racional

Analice y dibuje la gráfica de

$f(x)={\displaystyle \frac{2(x^2-9)}{x^2-\mathrm{4<span\; style="font-family:\; arial;\; text-align:\; center;"></span>}}}$

Solución

Primera derivada.
$f'(x) = \dfrac{20x}{(x^2 - 4)^2}$

Segunda derivada.
$f''(x) = \dfrac{-20(3x^2 + 4)}{(x^2 - 4)^3}$

Intersecciones en x:
$(-3,0), (3,0)$

Intersección en y:
$(0, \dfrac{9}{2})$

Asíntotas verticales:
$x = -2, x = 2$

Asíntota horizontal:
$y = 2$

Punto crítico:
$x=0$

Posibles puntos de inflexión:
Ninguno

Dominio:
Todos los números reales excepto $x = \pm 2$

Simetría:
Respecto al eje y

Intervalos de prueba:
$( -\infty, -2 ), (-2, 0), (0, 2), (2, \infty)$

La tabla muestra cómo se usan los intervalos de prueba para determinar varias características de la gráfica. La gráfica de $f$ se muestra en la figura 4.7.1.

Figura 4.7.1.

Ejemplo: Dibujar la gráfica de una función polinomial

Analice y dibuje la gráfica de f(x) = x⁴ - 12x³ + 48x² - 64x

Solución 

Comience factorizando para obtener 

f(x) = x⁴ - 12x³ + 48x² - 64x 

= x (x - 4) ³

Luego, utilizando la forma factorizada de f(x), se puede efectuar el siguiente análisis. 

Primera derivada: f '(x) = 4(x - 1) (x - 4) ²

Segunda derivada: f ''(x) = 12(x - 4) (x - 2)

Intersecciones en x: (0,0), (4, 0)

Intersección en y: (0,0)

Asíntotas verticales: Ninguno

Asíntotas horizontales: Ninguno

Comportamiento final o asintótico:

lím f(x) = ∞, lím f(x) = ∞

x→-∞        x→∞

Puntos críticos: x = 1, x = 4

Posibles puntos de inflexión: x = 2, x = 4

Dominio: Todos los números reales

Intervalos de prueba: (-∞, 1), (1, 2), (2, 4), (4, ∞)

El análisis de la gráfica de f se muestra en la tabla, y la gráfica se presenta en la figura 4.7.2(a). El uso de un sistema de álgebra por computadora como Maple [(vea la figura 4.7.2(b)] puede resultar de utilidad para verificar el análisis.

Una función polinomial de grado par debe tener al menos un extremo relativo Figura 4.7.2

La función polinomial de cuarto grado en el ejemplo tiene un mínimo relativo y ningún máximo relativo. En general, una función polinomial de grado n puede tener a lo más n - 1 extremos relativos, y cuando mucho n - 2 puntos de inflexión. Además, las funciones polinomiales de grado par deben tener al menos un extremo relativo. El "comportamiento final" o asintótico de la gráfica de una función polinomial es determinado mediante su coeficiente principal y su grado. Por ejemplo, debido a que el polinomio en el ejercicio tiene un coeficiente principal positivo, la gráfica crece hacia la derecha. Además, dado que el grado es par, la gráfica también crece a la izquierda.

Ejemplo completo: Análisis de la variación de una función y graficación.

Considera que se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad de 40 metros/segundo desde una altura inicial de 2 metros. La función que representa el movimiento se obtiene a partir de la fórmula de física 𝑦𝑦 = 40𝑡𝑡 − 4.905𝑡𝑡2 + 2, donde y es la altura en metros y t el tiempo en segundos. Si queremos conocer una fórmula para la velocidad en cualquier tiempo, sabemos que la rapidez de cambio instantánea de la posición del objeto es dicha velocidad, y como dicha rapidez es la derivada, entonces debemos derivar la función de la altura (posición) para obtener la velocidad.

¿En qué intervalo la altura aumenta? Esta pregunta es equivalente a determinar cuando la función de la altura es creciente. Los puntos donde una función deja de aumentar o de disminuir son los puntos críticos y estos se encuentran.

En los valores del dominio donde la derivada vale 0 o esta indefinida y en los valores extremos del intervalo que define el dominio de la función. Para determinar el dominio de la función se deben tomar en cuenta las restricciones dadas por el contexto físico, no solo considerar la expresión puramente matemática. En nuestro caso, los valores del tiempo van desde que se lanza la pelota 𝑡 = 0, hasta que cae al suelo. Por tanto, debemos de calcular en qué momento la pelota está a la altura 𝑦 = 0. 

La pelota tarda 8.20 segundos en caer, por lo tanto, el dominio de la función de la altura es [0, 8.20]. Esto significa que la función de la altura solo es válida para los tiempos comprendidos entre esos dos valores, incluyendo dichos extremos. 
Entonces 𝑡 = 0 y 𝑡 = 8.20 segundos son puntos críticos frontera. 

El punto (4.07, 83.85) es un punto crítico estacionario. Esto significa que la altura deja de aumentar o de disminuir en ese punto para comportarse de manera inversa. En nuestro caso, como se lanzó inicialmente hacia arriba, significa que en ese tiempo deja de subir. Por tanto, y=83.85 metros sería la altura máxima que alcanza el objeto si después de ese tiempo empieza a bajar. Para comprobar que empieza a bajar, checamos el signo de la derivada, es decir, de la velocidad para un tiempo un poco menor al valor crítico y para un tiempo mayor. Para 𝑡 = 4 → 𝑣 (4) = 40 − 9.81(4) = 0.76𝑚/𝑠. Como el valor es positivo significa que antes de los 4.07 segundos el objeto iba hacia arriba.

Para 𝑡=4.5 segundos →4.5) =40-9.81 (4.5) =40−44.145=−4.145 𝑚/𝑠 

Como el valor de la derivada es negativo significa que la altura va disminuyendo. Físicamente, decimos que el cuerpo se mueve hacia abajo y por tanto el valor de 𝑦=83.85 metros es un valor máximo para la función y por tanto para la altura. Entonces, para contestar la pregunta ¿Cuándo la altura del objeto aumenta? diremos que lo hace en el intervalo de tiempo [0,4.07] y podemos concluir también que la altura disminuye en el intervalo de tiempo de [4.07, 8.20]. Vamos ahora a extender el análisis para una función cuya gráfica se desea realizar. 

Graficar la función: 

𝒚=𝟒𝒙³ - 𝟖𝒙² -𝟏𝟐𝒙

1. Determinar el dominio de la función. Dado que no hay impedimento para calcular el valor de y para cualquier valor real de x. El dominio es [−∞, +∞]. 

3. Obtención de los puntos críticos. Recordemos que hay tres tipos de puntos críticos. 

Puntos frontera: Son los extremos del dominio. Como aquí, el dominio es de (−∞) no se tienen puntos críticos frontera. 

Puntos estacionarios: Donde la derivada vale cero. Para encontrarlos derivemos la función a graficar: 𝒚=𝟒𝒙³ - 𝟖𝒙² -𝟏𝟐𝒙

Derivando: 𝑦´=12𝑥²-16𝑥-12 

Igualando a cero y resolviendo con la fórmula general: 12𝑥²-16𝑥-12= 0

Por consiguiente, los puntos críticos estacionarios son: (−0.535,3.5175),(1.87,−24.258). Recuerda que en estos puntos es donde puede cambiar la monotonía de la función, es decir, la función puede cambiar de creciente a decreciente o viceversa. Este es el siguiente paso del análisis gráfico. No existen puntos críticos singulares porque la derivada siempre existe, es decir, no está indefinida para ningún número real.

4. Monotonía de la función. Para determinar en qué partes del dominio (intervalos) la función crece y/o decrece debemos considerar cada intervalo que resulta de la fragmentación del dominio por los puntos críticos encontrados. Recuerda que una función crece en un valor del dominio si el valor de la derivada en ese número es positivo y decrece si el valor de la derivada es negativo. Como el valor de la derivada de la función es cero en los puntos críticos, es en esos puntos solamente donde la función puede cambiar de creciente a decreciente o viceversa. Por tanto, una manera de saber el signo de la derivada antes y después del punto crítico es determinando el signo de esta para un valor menor y otro mayor al que tiene la coordenada en x del punto crítico correspondiente. Hagamos lo indicado: Primero dividamos el dominio en intervalos.

Vemos que se tienen tres intervalos como partes del dominio: (−∞, −0.535), (−0.535,1.87) 𝑦 (1.87, +∞). Enseguida tomamos un valor que pertenezca a los intervalos señalados:

(-∞, -0.535) →→ Valor de 𝑥 = -1

(−0.535,1.87) →→ Valor de 𝑥 = 0 

 (1.87, +∞) →→ Valor de 𝑥 = 2 

Enseguida determinamos el signo de la derivada en cada uno de estos valores:

La derivada es 𝑦´ = 12𝑥² −16𝑥 −12. 

 Si 𝑥 = −1, 𝑦´ =12(−1)2−16(−1) −12 = 12(1) +16−12 = 12+4=16. Como la derivada resulta positiva, significa que la función va creciendo en todo el intervalo de (−∞, −0.535). 

Si 𝑥 =0, 𝑦´ =12(0)2−16(0) −12 = −12, por lo tanto, en (−0.535,1.87) la función es decreciente porque la derivada es negativa. 

Si 𝑥 = 2, 𝑦´ =12(2)2−16(2) −12 = 12(4) −32−12 = 48−44 =4, entonces la función crece en todo el intervalo de (1.87, +∞). 

Así hemos determinado la monotonía de la función 𝑦= 4𝑥³ − 8𝑥² − 12𝑥.

5. Máximos y mínimos. 

Si al movernos por el dominio de la función esta crece y después del punto crítico decrece, en ese valor crítico hay un máximo. Por el contario si la función cambia de decreciente a creciente, el punto crítico representa un mínimo. Entonces, en la función que analizamos tiene en x= -0.535 un máximo y vale y= 3.5175, mientras que en x=1.87 hay un mínimo con valor de y=-24.258.

6. Concavidad de la gráfica o función. 

La concavidad de la gráfica de una función nos permite saber si la rapidez de cambio de la pendiente de la recta tangente, es decir, de la derivada, va disminuyendo o aumentando en un cierto intervalo o parte del dominio. Cuando esta disminuye la gráfica de la función se va curvando hacia abajo y cuando aumenta se curva hacia arriba. A este comportamiento se le llama concavidad de la función. Entonces, una gráfica puede mostrar concavidad hacia abajo o hacia arriba en alguna parte de su dominio. Los puntos donde puede suceder un cambio de la concavidad se llaman puntos de inflexión. Estos puntos de inflexión son los únicos puntos donde puede haber este cambio, de manera análoga a los puntos críticos, los cuales establecen donde una función puede cambiar su comportamiento de creciente a decreciente. La rapidez de cambio de la pendiente de la recta tangente es la rapidez con que cambia la derivada de la derivada, es decir, la segunda derivada de la función. Por tanto, cuando la segunda derivada es positiva en algún valor del dominio, significa que la gráfica se va curvando hacia arriba y la función es cóncava hacia arriba y cuando la segunda derivada es negativa, sucede lo inverso, la gráfica se curva hacia abajo y entonces la función es cóncava hacia abajo. En los valores de x donde la gráfica de la función cambia el sentido de su curvatura o concavidad se tiene un punto de inflexión y en estos la segunda derivada es cero. Para determinar la concavidad en cada parte del dominio de una función se hace algo semejante a lo que hicimos para determinar la Monotonía, solo que los puntos de inflexión se obtienen igualando a cero la segunda derivada en lugar de la primera. Con esos valores de x en donde la segunda derivada vale cero se divide el dominio en intervalos del dominio en los cuales se sabe que la concavidad debe ser la misma y se define la concavidad determinando el signo de la segunda derivada en cualquier valor dentro del intervalo para saber si la gráfica es cóncava hacia arriba o hacia abajo dependiendo si es positiva o negativa respectivamente.

Pasemos a determinar la concavidad de la función que estamos tratando: 𝑦=4𝑥³-8𝑥²-12𝑥, de la cual sabemos que su derivada es 𝑦´=12𝑥²-16𝑥-12. 

Obteniendo la segunda derivada, es decir, volviendo a derivar tenemos 𝑦´´=24𝑥-16 Igualando a 0 la segunda derivada: 24𝑥- 16=0 

Entonces el punto (2/ 3, -10.370) es un punto de inflexión. En este punto la gráfica puede tener una concavidad de un lado y otra distinta del otro lado. Para saberlo, tenemos que determinar el signo de la segunda derivada en algún valor que se encuentre del lado izquierdo Entonces el punto (2/3, -10.370) es un punto de inflexión. En este punto la gráfica puede tener una concavidad de un lado y otra distinta del otro lado. Para saberlo, tenemos que determinar el signo de la segunda derivada en algún valor que se encuentre del lado izquierdo y otro que se encuentre en el lado derecho.

Los intervalos en los que el punto de inflexión divide al dominio de acuerdo con el diagrama son:

  La siguiente grafica muestra todas las características que hemos analizado. Puedes comprobarlo haciendo la gráfica en Geogebra.