4.10 Definición de diferencial.

¿Qué es un diferencial?

Un diferencial puede ser descrito como un elemento matemático que representa un pequeño cambio en una variable. En el contexto de cálculo, este cambio se utiliza para analizar cómo una función responde a variaciones en su entrada, es decir, en sus argumentos. Para entender mejor qué es un diferencial, es importante contextualizarlo dentro de la noción más amplia de derivadas. La diferenciación permite calcular la tasa de cambio de una función en un punto particular, mientras que el diferencial es la expresión que conecta esos cambios.

El concepto de diferencial tiene su origen en la idea de aproximar el comportamiento de una función a partir de la derivada en un punto dado. En otras palabras, un diferencial proporciona una forma de cuantificar el cambio infinitesimal de una función en respuesta a un cambio infinitesimal en su variable independiente. Este enfoque se convierte en una herramienta poderosa para estudiar la variación continua y las propiedades de las funciones.

Definición y notación del diferencial

El diferencial de una función es un concepto que se define formalmente en términos de la derivada. Si consideramos una función f(x), su diferencial, denotado como df, se expresa de la siguiente manera:

df = f '(x)dx

En esta expresión, f '(x) representa la derivada de la función, y dx es un incremento infinitesimal en la variable x. La notación df indica el cambio en la función f que resulta de un pequeño cambio dx en x. Es importante notar que dx es una parte fundamental de esta relación, y su interpretación correcta es esencial para un adecuado entendimiento del diferencial.

La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por el incremento o diferencial de la variable independiente.

Ejemplo:

1. Encuentra la diferencial para la función y = 3x².

Si y = 3x²
dy= 6x dx

2. Calcula la diferencial de la función y = 5x³ para x = 2 y Δx = dx = 0.02.

y = 5x²

dy=15x² dx

dy=15(2) ² (0.02)

dy=1.2

Recordando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto, tenemos:

dy = f '(x) dx

dy = tan θ (PB)

Con base en la gráfica se tiene:

Sustituyendo se obtiene:

Si dx representa un incremento cualesquiera de la variable independiente x para un punto

P (x, y) de la curva y = f(x) tiene por derivada:

Por lo general, la diferencial de la función (dy) y el incremento (Δy) no son iguales. Por ejemplo, de la

gráfica tenemos que:

dy = BC} Incremento de la ordenada de la tan en P.

Δy = BP'} Incremento de la ordenada de la función de P a P'.

Cálculo de diferenciales 

Cada una de las reglas de derivación pueden escribirse en forma diferencial. Por ejemplo, suponer que u y v son funciones derivables de x. A partir de la definición de diferenciales, se tiene

du = u' dx     y      dv = v' dx. 

De tal manera, se puede escribir la forma diferencial de la regla del producto como se muestra a continuación 

d[uv] = d / dx [uv] dx   Diferencial de uv

 

= [uv' + vu'] dx    Regla del producto

              = uv' dx + vu' dx               

= u dv + v du 

Formulas clave del diferencial
Las fórmulas clave del diferencial se derivan de la relación establecida entre la derivada y el diferencial. A continuación, se presentan algunas fórmulas diferenciales que son cruciales en este contexto:

df = f '(x)dx – Expresión básica del diferencial.

dx = Δx – Donde Δx representa el cambio en x.

df = f '(x)(Δx) – Aproximación en términos del cambio total.

df = f (x + Δx) – f(x) – Representa el cambio en f al cambiar x un poco.

Estas fórmulas nos ayudan a aplicar el concepto de diferencial a diversas funciones y situaciones, proporcionando herramientas versátiles para cuantificar cambios en el contexto del cálculo.

La regla de la cadena:

La notación de a continuación recibe el nombre de notación de Leibniz para derivadas y diferenciales, en honor del matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. La belleza de esta notación se debe a que proporciona una forma fácil de recordar varias fórmulas de cálculo lo importantes al dar la apariencia de que las fórmulas se derivaron de manipulaciones algebraicas de diferenciales. Por ejemplo, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena.

Ejemplo:

Diferencial de una función compuesta 
 y = f(x) = sen 3x        Función original

 f '(x) = 3 cos 3x            Aplicación de la regla de la cadena

 dy = f '(x) dx = 3 cos 3x dx    Forma diferencial

Cómo se Calcula la Diferencial

Calcular la diferencial de una función implica conocer su derivada. Aquí se muestra el procedimiento general:

Determinar la función: Identifica la función (f(x)) para la cual deseas calcular la diferencial.

Calcular la derivada: Encuentra (f '(x)), que es la derivada de (f(x)).

Aplicar la fórmula: Usa la fórmula ( dy = f'(x), dx) para calcular la diferencial.

Un Ejemplo Básico

Consideremos la función (f(x) = x²). Primero, calculamos la derivada:

[ f '(x) = 2x]

Ahora aplicamos la fórmula de la diferencial:

[ dy = 2x, dx]

Si tomamos un pequeño incremento, digamos (dx = 0.1) y (x = 3):

[ dy = 2(3) (0.1) = 0.6]

Esto significa que un pequeño incremento de 0.1 en (x) causará un cambio aproximado de 0.6 en (y).

Diferencial vs. Incremento: ¿Cuál es la Diferencia?

Es crucial diferenciar entre diferencial e incremento. El incremento se refiere al cambio real en la variable, mientras que la diferencial es una aproximación que se obtiene de la derivada. Aunque ambos términos están relacionados, la diferencial de una función busca estimar cómo se comporta la función cerca de un punto específico sin tener en cuenta cambios significativos en la función.

Por ejemplo:  para (f(x) = x²), si tomamos (x = 2) y (dx = 0.1): 

Incremento: (f (2.1) - f (2) = (2.1) ² - (2) ² = 4.41 - 4 = 0.41)

Diferencial: ( dy = 2(2) (0.1) = 0.4)

Como se puede observar, el incremento y la diferencial son similares, pero no idénticos, lo cual es una característica típica de la aproximación que ofrece el cálculo diferencial.