4.12 La regla de L'Hôpital.

¿Qué es la regla de L'Hôpital?

L'Hôpital o regla del 'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.​

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró. La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por medio del cual el marqués de L'Hopital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli.

Formas indeterminadas

Recordar que las formas 0 / 0 e ∞/∞ son llamadas indeterminadas porque no garantizan

que un límite existe, ni indican lo que el límite es, si existe.

​Este teorema establece que bajo ciertas condiciones el límite del cociente f(x) / g(x) es determinado por el límite del cociente de las derivadas.

f '(x)/ g'(x)

Para demostrar este teorema, se puede usar un resultado más general llamado teorema general del valor medio.

Hay quienes en ocasiones usan incorrectamente la regla de L'Hôpital aplicando la regla del cociente a f(x)/g(x). Asegurarse de que la regla involucra f '(x)/g'(x), no la derivada de f(x)/g(x).

La regla de L'Hôpital también puede aplicarse a los límites unilaterales. Por ejemplo, si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a c por la derecha produce la forma indeterminada 0/0, entonces:

lím x→c+ f(x) / g(x) = lím x→c+ f ' (x) / g'(x)

suponiendo que el límite existe (o es infinito)

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que se deriva el numerador y el denominador por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

 

Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

  

Adaptaciones algebraicas 

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:  

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.

Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no se presentan como cocientes pueden ser resueltos con esta regla, recurriendo a transformaciones previas que lleven a un cociente del tipo:     o   .

Tipo

Se trata de hacer una transformación como     o     

EJEMPLO 1: Forma indeterminada 0/0

Evaluar $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}.$

Solución Ya que la sustitución directa resulta en la forma indeterminada 0/0

$$\lim_{x\to 0} (e^{2x} - 1) = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to 0} x = 0$$
$$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$$

se puede aplicar la regla de L’Hôpital como se muestra abajo.

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}[e^{2x} - 1]}{\frac{d}{dx}[x]} \quad\text{Aplicar la regla de L’Hôpital.}$$
$$= \lim_{x\to 0} \frac{2e^{2x}}{1} \quad\text{Derivar numerador y denominador.}$$
$$= 2 \qquad\text{Evaluar el límite.}$$

NOTA Al escribir la cadena de ecuaciones en el ejemplo 1, no se sabe que el primer límite es igual
al segundo hasta que se haya demostrado que el segundo límite existe. En otras palabras, si el segundo
límite no hubiera existido, no habría sido permisible aplicar la regla de L’Hôpital.

Otra forma de establecer la regla de L’Hôpital si el límite de $f(x)/g(x)$ cuando $x$ tiende a $\infty$ (o $-\infty$) produce la forma indeterminada 0/0 o ∞/∞, entonces

$$\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

suponiendo que el límite de la derecha existe.

EJEMPLO 2:  Forma indeterminada ∞/∞

Evaluar

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x}\mathrm{<br>}$$

Solución: por sustitución directa llegamos a una forma indeterminada ∞/∞, así que se puede aplicar la regla de L’Hôpital para obtener

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{d}{dx}[\ln x]}{\frac{d}{dx}[x]} \quad\text{Aplicar la regla de L’Hôpital.}$$
$$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1\mathrm{/}x}{1}\text{Derivar numerador y denominador.<span style="font-family: arial;"><br></span><span style="font-family: arial;">= 0. Evaluar el límite.</span><span style="font-family: arial;"><br></span><span style="font-family: arial;"><br></span>}$$$$\stackrel{}{\text{<span style="font-family: arial; text-align: left;">En ocasiones es necesario aplicar la regla de L’Hôpital más de una vez para quitar una forma indeterminada, como se muestra en el ejemplo 3.</span>}}$$

EJEMPLO 3: Aplicar la regla de L’Hôpital más de una vez

Evaluar

$$\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2}{e^{-x}}.$$

Solución: ya que los resultados de la sustitución directa en la forma indeterminada ∞/∞, se puede aplicar la regla de L’Hôpital.

$$\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2}{e^{-x}} = \lim_{x\to -\infty} \frac{\frac{d}{dx}[x^2]}{\frac{d}{dx}[e^{-x}]} = \lim_{x\to -\infty} \frac{2x}{-e^{-x}}.$$

Este límite da la forma indeterminada (−∞) / (−∞) para poder aplicar la regla de L’Hôpital de nuevo y obtener

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x}{-e^{-x}}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}[2x]}{\frac{d}{dx}[-e^{-x}]}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{e^{-x}}=0.$$

Además de las formas 0/0 y ∞/∞, hay otras formas indeterminadas como $0\cdot\infty$, $1^\infty$, $\infty^0$, $0^0$ y $\infty - \infty$. Por ejemplo, considerar los cuatro límites siguientes que llevan a la forma indeterminada $0\cdot \infty$.

$$\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x}\right), \qquad \lim_{x\to 0}\left( \frac{2}{x} \right), \qquad \lim_{x\to \infty}\left( \frac{1}{e^x} \right), \qquad \lim_{x\to \infty}\left( e^x \cdot \frac{1}{x} \right)$$

                                  El límite es 1           El límite es 2        El límite es 0         El límite es ∞

Puesto que cada límite es diferente, está claro que la forma $0\cdot \infty$ es indeterminada en el sentido que no determina el valor del límite (o incluso la existencia) del límite. Los ejemplos siguientes indican los métodos para evaluar estas formas. Básicamente, se intenta convertir cada una de estas formas a 0/0 o ∞/∞ para que la regla de L’Hôpital pueda aplicarse.

VIDEO EXPLICATIVO: 

AUTOR: MIZAEL GONZALEZ GARCIA