4.6 Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

Además de un método para analizar la concavidad es posible utilizar la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Ésta se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c y f '(c) = 0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f '(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f (ver la figura 4.6.1).

Derivada Segunda: Definición y Propósito

La derivada segunda se refiere a la derivada de la derivada primera, esto es:

f ′′(x) = (d/dx) (f'(x))

Este valor proporciona información sobre la concavidad de la función en un determinado punto. Si (f ′′(x) > 0), la función es cóncava hacia arriba en (x), lo que indica que la derivada primera está aumentando y, por ende, podemos esperar un mínimo relativo en ese punto. Por el contrario, si (f ′′(x) < 0), la función es cóncava hacia abajo, lo que indica que podemos encontrar un máximo relativo.

Figura 4.6.1

Criterio de la segunda derivada

Sea f una función tal que f '(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.
l. Si f "(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
2. Sif "(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
Si f "(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizá tenga un máximo relativo, un mínimo relativo o ninguno de los dos. En tales casos, puede utilizar el criterio de la primera derivada.

Demostración: Sif "(c) = 0 y f "(c) > 0, existe un intervalo abierto I que contiene a c para el cual

para todo x ≠ c en l. Si x < c, entonces x - c < 0 y f '(x) > 0. Además, si x > c entonces x - c > 0 y f '(x) > 0. De tal modo, f '(x) cambia de negativa a positiva en c, y el criterio de la primera derivada implica que f(c) es un mínimo relativo. Se le deja al lector la demostración del segundo caso.

Segundo Método de la segunda derivada para calcular los valores máximo y mínimo de una función:

1. Obtener el valor de la primera derivada.

2. Igualar a cero la ecuación que resulta, para hallar el valor de (𝑥).

3. Obtener el valor de la segunda derivada y se iguala con cero.

4. Sustituir el valor crítico de (𝑥) en la función dada y encontrar el valor de 𝑓(𝑥).

5. Se sustituye el valor crítico en la segunda derivada para determinar la concavidad.

6. Si el valor del resultado es (+), la concavidad es hacia arriba (mínimo) y si el valor del resultado es (-), la concavidad es hacia abajo (máximo).

Ejemplo 1: Determina los máximos y mínimos de la función:

𝒇(𝒙) = 𝒙³ −𝟑𝒙

1. Se obtiene la primera derivada de la función: 𝒇(𝒙)´ = 𝟑𝒙² - 𝟑

2. Resolviendo para hallar los valores críticos:

3. Se obtiene la segunda derivada: 𝒇(𝒙)´´=𝟔𝐱

4. Igualando a cero la ecuación resultante: 𝟔𝐱 = 0

Resolviendo para hallar el punto de inflexión: 𝐱= 0/6 x=0

5. Sustituir el valor de (𝑥) en la función origen para determinar el valor de 𝑓(𝑥), cuyos valores determinan el punto de inflexión:

6. Se determina la concavidad, sustituyendo en la segunda derivada:

Si 𝑓(𝑥)´´= 0 entonces falta criterio para determinar el máximo o el mínimo de una función, por lo tanto, se determina por el primer método de la derivada.

Ejemplo 2. Emplear el criterio de la segunda derivada

Encuentre los extremos relativos de f(x) = - 3x⁵ + 5x³
Solución: comience con la determinación de los puntos críticos de f

f '(x) = - 15x⁴ + 15x² = 15x² (1 - x²)

De esta derivada, puede ver que x = - 1, 0 y 1 son los únicos números críticos de f. Al encontrar la segunda derivada ·

f "(x) = - 60x³ + 30x = 30x (1 - 2x²)

puede aplicar el criterio de la segunda derivada como se indica a continuación:

Como el criterio de la segunda derivada no decide en (0, 0), puede utilizar el criterio de la primera derivada y observar que f aumenta hacia la izquierda y hacia la derecha de x = 0. De tal modo, (0, 0) no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo (aun cuando la gráfica tiene una recta tangente horizontal este punto). La gráfica de f se muestra en la figura 4.6.2.

Figura 4.6.2.

Aplicaciones del criterio

La aplicación directa del criterio de la segunda derivada es determinar si los puntos críticos de una función (puntos que anulan la primera derivada) son máximos o mínimos.

Si hay extremos, podemos deducir la monotonía de la función alrededor de éstos.

Además de esto, los puntos que anulan la segunda derivada son candidatos a ser puntos de inflexión (puntos donde la curvatura de la función cambia de tipo (concavidad y convexidad).

El criterio de la segunda derivada establece que si tenemos un punto crítico (z) en el que (f '(z) = 0) y se cumple que:

Si $f^{″} (z) < 0$ , entonces $f$ tiene un máximo relativo en $z$ .
Si $f^{″} (z) > 0$ , entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $z$
Si f ′′(z) = 0, el test es inconcluso y requerimos de una prueba adicional.

Si $z$ es un máximo relativo o un mínimo relativo, se dice que es un extremo relativo.

Si $z$ es un máximo o un mínimo para todo el dominio de la función, se dice que es un extremo absoluto.

Este criterio permite una clasificación eficiente de los puntos críticos dependiendo de la naturaleza de la función en esos puntos. Por lo tanto, resulta indispensable en la resolución de problemas de optimización.