4.3 Valores extremos máximos y mínimos de una función.

¿Qué son los máximos y mínimos de una función?

Los máximos de una función son los valores más grandes de la función y los mínimos de una función son los valores más pequeños de la función. Los máximos y mínimos de una función son extremos relativos cuando solo son los valores más grandes o más pequeños de su entorno, pero son extremos absolutos cuando son los valores más grandes o más pequeños de toda la función.

También se pueden identificar los extremos relativos estudiando el crecimiento y decrecimiento de la función:
Un punto es un máximo relativo cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente.
Un punto es un mínimo relativo cuando la función pasa de ser decreciente a ser creciente.

Cómo hallar los máximos y mínimos de una función

A partir de la primera y segunda derivada de una función, se puede saber si una función tiene un extremo relativo en un punto y si dicho punto es un máximo relativo o un mínimo relativo:
Una función tiene un extremo relativo en los puntos que anulan su primera derivada.


Y el signo de la segunda derivada de la función determina si el punto es un máximo o un mínimo: Sí la segunda derivada es negativa, la función tiene un máximo relativo en ese punto.


Si la segunda derivada es positiva, la función tiene un mínimo relativo en ese punto.

Máximo y mínimo de una función (primer método)

Al aplicar la derivada de una función, se determinan los intervalos en que la función es creciente o decreciente, ahora se utilizará para analizar los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente o viceversa.

Definición de los máximos y mínimos de una función

Si f es una función cuyo valor es c, se tiene que:

a) f(c) se llama un máximo relativo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que
f(x) ≤ f(c) para todo x en dicho intervalo; es decir, si f(c) es mayor que cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

b) f(c) se llama un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que
f(x) ≥ f(c) para todo x en dicho intervalo; es decir, si f(c) es menor que uno cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

De las anteriores definiciones se hace notar que no deben confundirse los máximos y mínimos relativos con los puntos máximos o mínimos de la función, que son aquellos donde la ordenada y es mayor o menor en la gráfica, por lo que se denominan absolutos.

La función f(x) en el intervalo [a, d] presenta un valor mínimo absoluto en x = –a; el valor máximo absoluto se presenta en x = d; los extremos relativos se presentan en x = b (máximo) y x = c (mínimo).

Valor crítico

Si c es un número que está dentro del dominio de una función, entonces a c se le denomina valor crítico de la función si f ′(c) = 0 o f ′(c) no existe. El valor crítico de una función nos permite analizar si la función tiene un máximo o mínimo relativo.

Primer método para calcular los máximos y mínimos de una función

(pasos a seguir para su solución)

1. Se encuentra la primera derivada de la función dada.

2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante determinando las raíces reales

o valores críticos de la variable.

3. Se consideran los valores críticos uno por uno, para determinar los signos de la primera derivada, en

primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor

que él. Si el signo de la derivada es primeramente (+) y después (-), la función presenta un máximo

relativo para el valor crítico de la variable que se analiza; en el caso contrario de (-) a (+), se tiene

un mínimo relativo. Si el signo de la primera derivada no cambia, la función no presenta ni máximo

ni mínimo para el valor crítico considerado.

Segundo método para calcular los máximos y mínimos de una función 

(pasos a seguir para su solución)

1. Se encuentra la primera derivada de la función dada.

2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante, se determina las raíces reales o valores críticos de la variable.

3. Se encuentra la segunda derivada de la función dada.

4. Se sustituye en la segunda derivada cada uno de los valores críticos obtenidos.

Ejemplo 1: Cómo calcular los máximos y mínimos de una función

Una vez hemos visto las definiciones de máximo y mínimo de una función, vamos a resolver un ejemplo paso a paso para que puedas ver cómo se calculan los máximos y los mínimos de una función. Calcula los extremos relativos de la siguiente función y determina si son máximos o mínimos:




Los extremos relativos de la función serán aquellos puntos que cumplan . Por tanto, primero calculamos la derivada de la función:



Y ahora igualamos la derivada de la función a cero y resolvemos la ecuación cuadrática resultante:













Por tanto, los extremos relativos de la función son x=+1 y x=-1.

Una vez sabemos los extremos relativos de la función, podemos averiguar si son un máximo o un mínimo con el signo de la segunda derivada. Por lo que calculamos la segunda derivada de la función:



Y ahora evaluamos en la segunda derivada los extremos relativos que hemos encontrado antes, para averiguar si son un máximo o un mínimo relativo:

 Mínimo relativo

 Máximo relativo

La segunda derivada en x=1 es positiva, por lo que x=1 es un mínimo relativo. En cambio, la segunda derivada en x=-1 es negativa, de modo que x=-1 es un máximo relativo.

Por último, sustituimos los puntos encontrados en la función original para hallar la coordenada Y de los extremos relativos:





En conclusión, los extremos relativos de la función son:

Mínimo en el punto 

Máximo en el punto 

Ejemplo 2: Estudiar la monotonía y los máximos y mínimos de una función

Ahora vamos a ver cómo se resuelve otro tipo de ejercicio. En este caso explicaremos cómo encontrar los máximos y mínimos a partir de la monotonía de una función. Estudia la monotonía y calcula los extremos relativos de la siguiente función:



Lo primero que debemos hacer es calcular el dominio de la función. Al ser una función racional, tenemos que igualar a 0 el denominador para ver qué números no pertenecen al dominio de la función:







Una vez hemos calculado el dominio de la función, debemos estudiar qué puntos anulan la primera derivada. Así que derivamos la función:







Y ahora igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación:





El término  está dividiendo a todo el lado izquierdo, por tanto, lo podemos pasar multiplicando a todo el lado derecho:





Extraemos factor común para resolver la ecuación cuadrática:



Para que la multiplicación valga 0, uno de los dos elementos de la multiplicación tiene que ser cero. Así que igualamos cada factor a 0 y obtenemos las dos soluciones de la ecuación:



Una vez hemos calculado el dominio de la función y , representamos en la recta todos los puntos críticos encontrados:
                                 

Y evaluamos el signo de la derivada en cada intervalo, para saber si la función crece o decrece. Para ello, cogemos un punto de dentro de cada intervalo (nunca los puntos críticos) y miramos qué signo tiene la derivada en ese punto:

Si la derivada es positiva significa que la función crece, pero si la derivada es negativa significa que la función decrece. Por tanto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

Crecimiento: 

Decrecimiento: 

Además, en x=0 la función pasa de ser creciente a ser decreciente, así que x=0 es un máximo relativo de la función. Y en x=2 la función pasa de ser decreciente a ser creciente, por lo que x=2 es un mínimo relativo de la función.

Y, por último, sustituimos los puntos encontrados en la función original para hallar la coordenada Y de los extremos:





En definitiva, los extremos relativos de la función son:

Máximo en el punto 

Mínimo en el punto